Geometrisk Progression (PG)
Hvad er Geometrisk Progression (PG):
Det er en numerisk sekvens, hvor hvert udtryk fra det andet er resultatet af multiplikationen af det foregående udtryk med en konstant q, denomineret som forholdet mellem PG.
Eksempel på geometrisk progression
Den numeriske sekvens (5, 25, 125, 625 ...) er en voksende PG, hvor q = 5. Det vil sige, at hvert udtryk for denne PG, multipliceret med dets forhold ( q = 5), resulterer i følgende udtryk.
Formel for at finde forholdet (q) af en PG
Inden for Crescent PG (2, 6, 18, 54 ...) er der en konstant ( q ) konstant endnu ukendt. For at opdage det skal man overveje betingelserne i PG, hvor: (2 = a1, 6 = a2, 18 = a3, 54 = a4, ... an), anvende dem i følgende formel:
q = a 2 / a 1
For at finde årsagen til denne PG udvikles formlen således: q = a 2 / a 3 = 6/2 = 3.
Forholdet ( q ) til ovenstående PG er 3.
Fordi forholdet mellem en PG er konstant, det vil sige fælles for alle udtryk, kan vi arbejde dens formel med forskellige vilkår, men dele det altid med sin forgænger. Der mindes om, at forholdet mellem en PG kan være et hvilket som helst rationelt tal, undtagen nul (0).
Eksempel: q = a 4 / a 3, som inde i PG ovenfor resulterer også i q = 3.
Formel for at finde PG General Term
Der er en grundlæggende formel til at finde noget udtryk i en PG. I tilfælde af PG (2, 6, 18, 54, a n ...), for eksempel hvor n som kan betegnes som det femte eller nte udtryk eller 5, er det stadig ukendt. For at finde dette eller andet udtryk anvendes den generelle formel:
en n = a m ( q ) nm
Praktisk eksempel - Formlen for den generelle term af PG udviklet
Det vides at :
et n er et hvilket som helst ukendt udtryk der skal findes
en m er PG's første term (eller nogen anden, hvis den første term ikke eksisterer);
q er forholdet mellem PG;
Derfor, i PG (2, 6, 18, 54, a n ...) hvor det femte udtryk (a 5 ) søges, vil formlen udvikles på følgende måde:
en n = a m ( q ) nm
ved 5 = 1 (q) 5-1
ved 5 = 2 (3) 4
ved 5 = 2, 81
ved 5 = 162
Således finder man, at det femte udtryk (a 5 ) af PG (2, 6, 18, 54, a n ...) er = 162.
Det er værd at huske, at det er vigtigt at finde ud af årsagen til en PG for at finde et ukendt begreb. I tilfælde af PG ovenfor var forholdet for eksempel allerede kendt som 3.
De geometriske fremskridts klassifikationer
Crescent Geometrisk Progression
For at en PG skal betragtes som stigende, vil dens forhold altid være positiv og dets vilkår stiger, det vil sige stigende inden for den numeriske rækkefølge.
Eksempel: (1, 4, 16, 64 ...), hvor q = 4
I stigende PG med positive udtryk, q > 1 og med de negative udtryk 0 < q <1.
Geometrisk faldende fremgang
For at en PG anses for at falde, vil dens forhold altid være positiv og ikke-null, og dens vilkår falder inden for den numeriske rækkefølge, det vil sige, at de falder.
Eksempler: (200, 100, 50 ...), hvor q = 1/2
I den faldende PG med positive udtryk, 0 < q <1 og med negative udtryk, q > 1.
Oscillerende geometrisk progression
For at et PG kan betragtes som oscillerende, vil dets forhold altid være negativt ( q <0) og dets udtryk veksler mellem negative og positive.
Eksempel: (-3, 6, -12, 24, ...), hvor q = -2
Konstant geometrisk progression
For at en PG skal betragtes som konstant eller stationær, vil dens forhold altid være lig med en ( q = 1).
Eksempel: (2, 2, 2, 2 ...), hvor q = 1.
Forskel mellem Aritmetisk Progression og Geometrisk Progression
Ligesom PG udgøres BP også af en numerisk sekvens. Betegnelserne for en PA er imidlertid resultatet af summen af hvert udtryk med forholdet ( r ), medens betingelserne i en PG som eksemplificeret ovenfor er resultatet af multiplikationen af hvert udtryk ved dets forhold ( q ) .
eksempel:
I PA (5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 ...) er forholdet ( r ) 2. Det vil sige, at det første udtryk tilsat til r2 resulterer i det næste udtryk og så videre.
I PG (3, 6, 12, 24, 48, ...) er forholdet ( q ) også 2. Men i dette tilfælde multipliceres begrebet med q 2, hvilket resulterer i næste term og så videre.
Se også betydningen af Aritmetisk Progression.
Praktisk betydning af en PG: hvor kan den anvendes?
Geometrisk Progression muliggør analyse af nedgangen eller væksten af noget. Praktisk set gør PG det muligt at analysere fx de termiske variationer, befolkningsvækst, blandt andre typer af verifikationer, der findes i vores dagligdag.
